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篇一：大学物理——机械振动
第十章 机械振动
基本要求
1．掌握简谐振动的基本概念和描述简谐振动的特征量的意义及相互关系。 2．掌握和熟练应用旋转矢量法分析与解决有关简谐振动的问题。
3．掌握简谐振动的动力学与运动学特征，从而判定一个运动是否为简谐振动。 4．理解简谐振动的能量特征，并能进行有关的计算。 5．理解两个同振动方向、同频率的简谐振动的合成。
6．了解同振动方向不同频率的简谐振动的合成和相互垂直的两个振动的合成。
7．了解频谱分析、阻尼振动与受迫振动。 8．了解混沌的概念和电磁振荡。
10-1简谐振动
一． 弹簧振子
??
f??kx１． 弹性力： 2．运动学特征：
dxdt
22
特征方程：
2
??x?0式中 ?2?K
m
其解： x?Acos(?t??)
二． 描述谐振动的物理量 １． ２．
振幅：A 角频率：??
km
３．
频率：??
?
2?2?
４． ５． ６． 三．
周期：T?
?
相位：?t?? 初相位：?
谐振动中的速度和加速度
v?
dxdt
??A?sin(?t??)?vmcos(?t???
?
2
)
a?
dvdt
?
dxdt
2
2
??A?
2
cos(?t??)?amcos(?t????)
四．
决定?,A,?的因素
1．? 决定于振动系统，与振动方式无关； 2．A,?决定于初始条件：
v0
22
公式法: A?分析法：
x0?
2
?
，??arctg(?
v0
?x0
)
x0?Acos? ? cos??
x0Av0
??1,?2 {
?0(1,2象限）?0(3,4象限）
v0??Asin??sin???
六．谐振动的能量
Ek?
1212mv
2
A?
?
1212
m?Asin(?t??)
2
2
222
Ep?
kx
2
?kAcos(?t??)?12
12
12
m?Acos(?t??)
222
E?Ek?Ep?
kA
2
?
?Am
22
Ek?
1T
?0
T
12
m?Asin(?t??)dt?
222
14
mA?
22
?
14
kA
2
Ep?Ek
例１． 已知t?0时x0?
例２． 已知t?0时x0?0,v0?0,求?思考：
１． 地球，M,R已知，中间开一遂道；小球m，从离表面h处掉入隧道，问，小球是否作谐振动？ ２． 复摆问题（I,m,lc已知）
d?dt
22
A2
,v0?0,求?
?
mglI
c
??0
３． 弹簧串、并联
串联：
1k?1k1
?1k2
并联：k?k1?k2
10-2 谐振动的旋转矢量表示法
一、幅矢量法 1. 2.
作x轴，O为平衡位置；
?
A在x轴上的投影点P作谐振动：
x?Acos(?t??)
3.
T?
O
?
A以角速度?旋转一周，P正好来回一次：
2?
P
P0
?
二、参考圆法 1. 2. 三、相位差
1. 同频率、同方向的两谐振动的相位差就是它们的初相差，即：????2??1 2. 超前与落后
例1. 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A?12cm，周期T?2s，t?0时，位移为6cm且向x正方向运动，求： 1) 初位相及振动方程；
2) t?0.5s时，物体的位置、速度和加速度；
3) x0??6cm处，向x轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最短时间；
例2. 设有一音叉的振动为谐振动，角频率为??6.28?10s
2
?1
以O为原点，A为半径作圆，x轴； 在图上根据已知求未知
，音叉尖端的
振幅A?1mm。试用参考圆法求出以下三种情况下的初相，并给出振动方程；
1) t?0时，x0?0，v0?0； 2) t?0时，x0?
A2
，v0?0；
A2
3) t?0时， x0??
，v0?0。
10-3谐振动的合成
一．同频率同方向谐振动的合成 1.解析法：
x1?A1cos(?t??1)
x2?A2cos(?t??2) x?x1?x2?Acos(?t??)
A?
A1?A2?2A1A2cos(?2??1)
tg??
A1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2
22
2.振幅矢量法：结果同上。 3.讨论：
① ????2??1??2k?，k?0,1,2,?
A?A2?A1 为最大
②????2??1??(2k?1)?，k?0,1,2,?
A?A2?A1 为最小
A1?A2,???1 A1?A2,???2
二.同方向不同频率谐振动的合成 １．
一般情况：
????2t??2?(?1t??1)?(?2??1)t?(?2??1)???(t)
已不是谐振动。 ２． ① ②
频率差很小，拍现象： 定性理解拍现象：??1??2 拍频的推导：T?
2?
?2??1
三.相互垂直的谐振动的合成 1.
同频率：
x?A1cos(?t??1) y?A2cos(?t??2)
消去时间t，得：
篇二：大学物理机械振动电子版习题
机械振动
班级： 09—通信2班 学号： 20092201 姓名：韩钰
一． 选择题
1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动？ （A）小球在地面上做完全弹性的上下跳动
（B）细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动
（C）浮在水面的一均匀矩形木块，将他部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 （D）浮在水面的一均匀球块木块，将他部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 [ C ] 解析：（A）中不是往复运动，（B）不能做大角度的大角度的来回摆动
（D）球体是非线性体，故其做振动但不是简谐振动
2. 如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动，若从松手
时开始计时，则该弹簧振子的初相应为 图1
（A）0 （B）?/2 (C )??2 (D )? [ D] 解析：利用旋转矢量法可得。
3. 一质量为m的物体挂在劲度系数为k的轻弹簧下面，其振动周期为T，若将此弹簧分割
为3等份，将一质量为2m的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （A）3T
6(B )6T( C)2T (D )6T [ B ]
解析：弹簧分割三份后其K变为3K，物体质量变为2M，有T?2?
m
可得为B。 k
4. 两相同的轻弹簧各系一物体（质量分别为m1,m2）做简谐振动（振幅分别为A1,A2），
问下列哪一种情况两振动周期不同？
（A）m1?m2,A1?A2,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上振动 （B）m1?2m2,A1?2A2,两个都在光滑平面上作水平振动 （C）m1?m2,A1?2A2,两个都在光滑平面上作水平振动
（D）m1?m2A1?A2一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作竖直振动[ B ] 解析：利用T?2?
m
可判断选项B正确。 k
5. 一个质点做简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时
间为t0，则该质点的振动周期T应为
(A) 4t0 (B ) 12t0 (C) 6t0 (D) 8t0 [ B ] 解析：利用旋转矢量法。
6. 已知月球上的重力加速度为地球的，若一个单摆（只考虑小角度摆动）在地球上的
震动周期为T，将该单摆拿到月球上去，其震动周期应为 （A）6T (B) T6(C) 解析：利用T?2?
6T (D) T6 [ C ]
l
可得正确答案。 g
7. 一简谐振动的旋转矢量图如图2所示，设图中圆的半径为R，则该简谐振动的振动方程
为
?t??4) （B）x?Rsin(?t??4) （A）x?Rcos(
?t??4) (D) x?Rcos(?t2??4)
（C）x?Rcos(
[ A ] 解析：有原图可知???，??
?
4
，所以得到A。
8. 已知某简谐振动的振动曲线如图3所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振
动的振动方程为
11?t24?2?)(SI) (B)x?10cos(7?t24?7?)(SI) (A)x?10cos(
11?t24?2?)(SI)[ C ] (C)x?10cos(7?t24?2?3)(SI)(D)x?10cos(
解析：A=10，带入点（0，-5），（4,0）可得振动方程式C。
9. 某弹簧振子的振动曲线如图4所示，则由图可确定t=2s时，振子的速度为
(A)3?s (B) ?3?s (C)3s(D) ?3ms[ A ]
图4
解析：振子的振动方程是x?6t?
??
2
2
)所以t=2s 时，v?3?.
10. 一质量为m的物体与一个劲度系数为k的轻弹簧组成弹簧振子，当其振幅为A时，该弹
簧振子的总能量为E。若将弹簧分割成2等份，将两弹簧并联组成新的弹簧振子，则新的弹簧振子的振幅为多少时，其总能量与原先弹簧振子的总能量E相等
(A)2 (B)4(C)解析：E? 11. 两
2(D)A[ A ]
1KA22
方
向
当K变为4K时，A变为
A
，才能保证总能量E不变。 2
谐
振
动
的
振
动
方
程
为
同同频率的简
x1?6cos(5t??2)(SI),x2?2cos(5t??2)(SI),，则它们合振动的振动方程为
(A:)x?4cos5t(SI)(B)x?8cos(5t??)(SI)
10t??2)(SI) (D) x?4cos(5t??2)(SI) [D] (C)x?4cos(
解析：做矢量图更简便。
12. 已知两同方向同频率的简谐振动的振动方程分别为
x1?A1cos(?t??)(SI),x2?A2cos(?t??6)(SI),，则它们的合振幅为
(A) |A1?A2| (B) A1?A2 (C)
A1?A2 (C)A1?A2|[C]
2
A12?A2
2222
解析：两个振动方向垂直，所以合振幅是二．
填空题
?t??0)的周期为T，1.若简谐振动x?Acos(则简谐振动x?Bcos(n?t??0??)的周期
为
'
1
T n
2．一质点做简谐振动，已知质点在一个周期内相继经过距离为S的两点A,B，历时T，且质点在A点和B点的速度相同；在经过T后，质点又一次经过B点，则该质点运动的周期为4T ，振幅为
2S 2
解析：因为质点在S处VA?VB，所以A，B为相对平衡位置对称的两点，故可以列（1） ，又因为再经过T，质点有经过B，故可以列（2），（3）中T0为周期
??2(?t??0)??T(1)2(?t??0)??T(2)
2?T0?(3)
?
得到T0?4T
又
ST
?Acos(???)22
?T?
2?
2S 2
所以得A?
?t??0)的周期为T，在t=T/2时质点的速度为 3.已知简谐振动x?Acos(
?A?sin(???0)，加速度为?A?2cos(???0)。
4.已知一弹簧振子由3kg的物体与劲度系数为k?12Nm组成，其振幅为2m，沿x轴运动，并从物体处于最大位移处时开始计时，则其圆频率为 2rad?s，初相为其振动方程为x(t)?2cos2t，t??8s时，作用于该物体的力的大小为122
?1
N，方向
为 沿x 负方向
5. 一简谐振动的振动曲线如图5所示，则由图可得其振幅为，其初相为
522
?，其周期为4.8 s ，其振动方程为0.1?t??)
1233
图5
6.已知一简谐振动的振动方程为x?2cos(t??2)，请在图6中分别画出位移，速度，加速度曲线。
解析：V??2sin(t?
?
2
)a??2cos(t?
?
2
)
7.如图7所示，初始时两质量均m为的无粘合的物体A,B向右压缩劲度系数为k的弹簧，然后放手，则物体A第一次到达正最大位移处所用时间为
?
2m
(2?1)。若初始时弹簧k
被压缩x0，则物体A第一次到达正最大位移处时B物体的速度为x0
k。m
图7
T0?2m?42k?T0m?m
T0??2?T2??
k42k
解析:
?m
t?T1?T2?2?1
2k
T0?2?
2mk
T1?
?
121
Kx0??2m?v222
v?x0
k
2m
8.质量为m的物体与劲度系数k为的弹簧组成弹簧振子的振动动能的变化频率为
1
?
k，m
其势能的变化频率为
1
?
k m
篇三：大学物理机械振动部分练习题
大学物理机械振动部分练习题
4-1 符合什么规律的运动才是简谐振动?分别分析下列运动是不是简谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作简谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2?
??2??0 2dt
描述时，其所作的运动就是简谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是简谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所
?S
→0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复R
力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，
示．题 中所述，?S＜＜R，故??在凹槽切线方向上有
d2?
mR2??mg?
dt
令??
2
g
，则有 R
d2?
??2?0 2dt
4-2劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1
F2??k2x2
又有 x?x1?x2
x?
所以串联弹簧的等效倔强系数为
FFF
?1?2 k串k1k2
k串?
k1k2
k1?k2
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为
T?
2?
?
?2?
m(k1?k2)m
?2? k串k1k2
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有
k并x?k1x1?k2x2
故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为
T??2?
m
k1?k2
4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2x
mgsin??T1?m2①
dt
T1R?T2R?I? ②
d2x
2?R? T2?k(x0?x)③
dt
式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
Id2x
(mR?)2??kxR
Rdt
kR2
令??
mR2?I
2
则有
d2x
??2x?0 2dt
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
mR2?Im?I/R2
T??2?(?2?)
?KkR2
2?
4-4 质量为10?10作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2
?3
按x?0.1cos(8??kg的小球与轻弹簧组成的系统，
2?
)3
(SI)的规律
?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
A?0.1m,??8?,?T?
2?
?
?
1
s,?0?2?/3 4
?1?1
又vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?am?0.63N
12
mvm?3.16?10?2J 2
1
Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?
当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
12112kx??(kA) 222
∴x??
22
A??m 220
(3)????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
4-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数
表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?
A
处向负向运动； 2
(4)过x??
A2
处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
?x0?Acos?0
解：因为 ?
v???Asin?0?0
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1??
?2???3?
?
3
32
?4?
5?4
2?
t??) T2?3
x?Acos(t??)
T22??
x?Acos(t?)
T32?5
x?Acos(t??)
T4x?Acos(
4-6 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为
2?
?0.5?T
rad?s?1
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x
??10?10?()?0.17??4.2?10N
2
方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
?3
?
2?3
A?,且v?0,故?t? 23
????2
?/?s ∴ t??323
t?t时x0??
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
E?
121
kA?m?2A2221?
??10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J
4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度
v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
m1g1.0?10?3?9.8?1
解：由题知k? ??0.2N?m?2
x14.9?10
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